martes, 10 de enero de 2012

ANTECEDENTES HISTÓRICOS DEL CÁLCULO DIFERENCIAL Y APLICACIONES

El cálculo diferencial es la rama de las matemáticas que comprende el estudio y aplicación del cálculo diferencial y del cálculo integral. El cálculo diferencial se origina en el siglo XVII al realizar estudios sobre el movimiento, es decir, al estudiar la velocidad de los cuerpos al caer al vacío ya que cambia de un momento a otro; la velocidad en cada instante debe calcularse, teniendo en cuenta la distancia que recorre en un tiempo infinitesimalmente pequeño. En 1666, el científico Ingles ISAAC NEWTON fue el primero en desarrollar métodos matemáticos para resolver problemas de esta índole. Casi al mismo tiempo el filosofo y matemático alemán GOTTFRIED LEIBNIZ realizo investigaciones similares e ideando símbolos matemáticos que se aplican hasta nuestros días. Destacan otros matemáticos por haber hecho trabajos importantes relacionados con el cálculo diferencial, sobresale entre otros, PIERRE FERMAT matemático francés, quien en su obra habla de los métodos diseñados para determinar los máximos y mínimos acercándose casi al descubrimiento del cálculo diferencial. Dicha obra influencio a LEIBNIZ en la investigación del cálculo diferencial. FERMAT dejo casi todos sus teoremas sin demostrar ya que por aquella época era común entre los matemáticos el plantearse problemas unos a otros, por lo que frecuentemente se ocultaba el método propio de solución, con el fin de reservarse el éxito para sí mismo y para su nación; ya que había una gran rivalidad entre los franceses, alemanes y los ingleses, razón por la que las demostraciones de FERMAT se hayan perdido. Los procesos generales y las reglas practicas sencillas del cálculo diferencial se deben a NEWTO y a LEIBNIZ; sin embargo, por más de 150 años el cálculo diferencial continuo basándose en el concepto de lo infinitesimal. En el siglo XIX se han encontrado bases más firmes y lógicas al margen de lo infinitamente pequeño. El cálculo diferencial se ha ido desarrollando a través de los años, consolidándose en una herramienta técnico-científica que se utiliza en el análisis de procesos que contienen magnitudes en constante cambio, por ejemplo: la velocidad de las reacciones químicas, los cambios atmosféricos, los desarrollos sociales y económicos de las naciones, en la astronomía, la estadística, etc. A NEWTON y a LEIBNIZ se les llama fundadores del cálculo ya que fueron los primeros en estudiar el problema geométrico fundamentalmente del cálculo diferencial, que se denomina: Problemas de las tangentes en el cual hay que hallar las rectas tangentes a una curva dada.























APLICACIONES A LA ECONOMÍA.

Cuando se produce un bien o se presta un servicio se genera un costo para una organización, que puede ser de tipo comercial, industrial, etc.
Funciones Costo.
Ahora se considera distintos tipos de costo, que son funciones del siguiente tipo:
Función costo total.
La función costo total Q(x) es una relación cuyo dominio es un subintervalo A de R + que representa la cantidad de producción y cuyo codominio es R + = (0;1) 1 ; es decir,  Q: A ½ R + !R + x ! Q(x)
Función demanda.
Definimos como demanda a la cantidad de un artículo que un individuo está dispuesto a comprar en un precio específico.
La función demanda d = x(p) es una relación matemática que expresa la variación de demanda de un producto, que cambia según el precio al que se venda, donde su dominio es un subintervalo B de R+ que representa el precio del artículo y cuyo codominio es R+ , es decir,
X: B ½ R + ! R + p ! x(p)

APLICACIONES A LA DEMOGRAFÍA Y LA ACTUARÍA

Grupos de edad.
En casi todas las funciones que se manejan en demografía, la variable que se emplea es la edad de las personas, por esta razón es importante analizar los tipos de grupos de edad que se utilizan.
Cuando se presenta información demográfica clasificada por grupos de edad, por ejemplo la información obtenida en un censo, los intervalos de edades suelen presentarse en dos formas distintas.
La más general es la que se muestra a continuación,
Grupos de edades                                Población
0 ¡4                                                        p1
5 ¡9                                                        p2
10 ¡14                                                    p3

APLICACIONES EN LA INFORMATICA Y PROGRAMACIÓN 

Las diferenciales pueden aplicarse a todo lo que sea estadísticas, por nombrar un ejemplo:
En las empresas de distribución de gas, agua y electricidad, periódicamente tienen que tomar las mediciones de consumo de cada cliente. No siempre están dispuestos a verificar dichos valores en la residencia de todos, ya que esto implica gastos, así que les resulta más económico calcular el consumo de cada uno estadísticamente a partir de otros datos reales, por ejemplo, consumos anteriores tomados del medidor, consumos de otros clientes con características similares, etc. Aunque no hay una sola forma de calcular estos valores, una o varias de ellas son con cálculo diferencial. De hecho, las empresas que se dedican a eso hacen esos cálculos, cada uno, con un programa propio dedicado a tal fin.

APLICACIONES EN LA INGENIERÍA

Se estudian los conceptos de continuidad y limite de una función real de variable real. De manera intuitiva dijimos que una función es continua cuando su grafica no presenta cortes o saltos. El objetivo de este capítulo es estudiar el concepto de derivabilidad. Intuitivamente, una función f será derivable en un punto x0 Dom(f) si la grafica de f es continua en x0 y si además, el cambio de f(x) es suave cuando x está en las cercanías de x0 - dicho de otra manera, cuando la grafica de f no presenta una “punta” en x0.



APLICACIONES EN LA ADMINISTRACIÓN

En vista de que el análisis de la economía y la administración trata frecuentemente con cambios, él calculo es para los directores de empresa y economistas una herramienta en extremo valiosa. El análisis marginal es quizá la aplicación más directa del cálculo a la economía y a la administración; la razón marginal de cambio o variación en el margen se expresa analíticamente como la primera derivada de la función pertinente. El cálculo diferencial es también el método mediante el cual se obtienen máximos y mínimos de funciones. Por consiguiente utilizando el cálculo se pueden resolver problemas relativos a maximizar ganancias o minimizar costos, bajo ciertas suposiciones. La programación matemática, la cual tiene como finalidad maximizar o minimizar funciones sujetas a restricciones, es utilizada cada vez más en la economía y la administración, los métodos utilizados en programación lineal, son aplicaciones del cálculo diferencial.







No hay comentarios:

Publicar un comentario en la entrada